范德瓦爾登傳承哥廷根代數學派的傳統，再加上自己的創新工作，使得 E·諾特所不能清晰表達的思想在世界范圍內傳播，這種對 E·諾特思想的普及無人能及，對後世影響深遠。本文主要對范德瓦爾登的生平、成就及影響做一較全面的介紹。
撰文 | 鄧明立、王淑紅（河北師范大學）
翻開20世紀以來的圖書資料，范德瓦爾登（B.L. Van der Waerden，1903—1996）有過多種贊譽。有人稱之為神童，因為他中學時就獨自發現瞭三角函數，22歲便摘得數論三顆明珠之一；有人稱之為數學傢，因為他在眾多的數學傢園都遍地開花，且不說他在抽象代數方面的突出貢獻，單就他對希爾伯特15問題的貢獻就能名垂史冊；有人稱之為科技史傢，他以數學傢和科學傢深邃的洞察力，撰寫歷史的優秀篇章；有人稱之為教育傢，他培養的學生不計其數，其中不乏知名數學傢；有人稱之為著述傢，他以最人文的角度撰寫書籍，獲得的成功無以倫比，影響瞭許多學科的發展，推動瞭許多國傢的數學和科學進程。這樣看來，對於上述任何稱謂，范德瓦爾登都是當之無愧的。遺憾的是，目前國內還沒有他的傳記發表，這也正是本文的寫作意圖。
01 一生漂泊，終渡難關
范德瓦爾登於1903年2月2日出生於荷蘭首都阿姆斯特丹。他的父親是一位數學教師，傢裡有數學書籍，但是他不希望小范德瓦爾登學習數學，而是堅持認為小范德瓦爾登應該到屋外玩。於是他把這些書鎖瞭起來。父親的這種做法適得其反，更加激發瞭小范德瓦爾登的好奇心。比如中學時，當時還沒有開設三角函數的課程，他便從餘弦定理開始重新發現瞭三角函數，在數學上表現出瞭卓越的才能。於是父親改變瞭初衷，開始幫助和引導他。范德瓦爾登非常喜歡一個叫“畢達哥拉斯”的數學遊戲，而他的兩個兄弟對此不太感興趣。這樣他總是一個人玩，有時父親和他一起玩。母親雖對數學不太感興趣，但卻是他的親密朋友，常常和他一起出遊，增長瞭他的見識。范德瓦爾登就在這樣和諧的傢庭氛圍中漸漸成長起來。值得一提的是，在中學期間，范德瓦爾登還研究瞭格羅寧根大學的教授巴饒（Barrau）寫的一篇關於解析幾何的專題論文。他發現論文的第二部分有許多定理的證明不充分，於是給作者寫瞭信。巴饒看到信後非常欣賞范德瓦爾登，認為如果他離開格羅寧根，應該讓范德瓦爾登作為他的繼任者。後來果真如此，巴饒去瞭烏德勒支大學之後，范德瓦爾登受邀去瞭格羅寧根。
1919年中學畢業後，在行傢眼裡他自然會成為一名數學傢。於是他繼續到阿姆斯特丹大學深造。這時他的思想更加活躍，時常在課上提出一些問題。其中有一個讓范德瓦爾登保持安靜的故事：有一位教師佈勞威爾（L.E. Brouwer，1881-1996）講課時，范德瓦爾登打斷瞭他的講授提瞭一個問題。在下一次課前，佈勞威爾的助教找到他說，佈勞威爾不希望上課時有人提問。當時阿姆斯特丹大學還有另外幾位數學老師教過范德瓦爾登，主要是曼那瑞（Mannoury）和韋瑞斯（Hendrik de Vries）。前者講授拓撲學，後者講授數的幾何，對他影響都比較大。另外，范德瓦爾登還在父親的資助下先後到哥廷根和漢堡遊學，有幸結識瞭傑出數學傢 E·諾特、希爾伯特（D.Hilbert，1862-1943）和阿廷（E. Artin，1898-1962）等人，並成為瞭 E·諾特的優秀弟子。他還在 E·諾特幫助下獲得過洛克費勒獎，利用這部分獎金跟隨阿廷完成瞭在漢堡的學習。希爾伯特也經常邀請他到傢裡做客。他在跟隨這些數學傢學習的同時，也與他們建立瞭深厚的友誼。1926 年他以優異的成績獲得阿姆斯特丹大學博士學位。另外在此期間還服過兵役。
范德瓦爾登 1927 年前往荷蘭格羅寧根，1929 年繼任格羅寧根教授職位，開始撰寫代數書籍。1929 年得到哥廷根客座教授的職位。這一時期是他一生中最忙的時期。後來范德瓦爾登回憶說，哥廷根有著名的閱覽室，他可以自己從書架子上取書，常常是找書的地方手邊又有另一本很有意思的書。他還在這裡與凱米拉（Camilla）小姐相識，很快便結婚。他的妻子在以後的生活中給瞭他很大幫助和鼓舞。蜜月後不久，諾特打來電話說：“蜜月結束瞭，回來工作吧！”然後他回到工作中，一口氣寫完瞭《近世代數學》。
范德瓦爾登 1931 - 1945 年任教於德國萊比錫大學。此時正值戰爭時期，他的很多學生當瞭兵。當時萊比錫的數學傢有寇貝（P.Koebe，1882-1945）等人，但是吸引范德瓦爾登的卻是物理學傢海森堡（W.K. Heisenberg，1901-1976）和珩德（Hund），他們隻談科學不談政治。1943 年 12 月 4 日，范德瓦爾登全傢被轟炸得無傢可歸，於是去瞭德累斯頓，在一個學生的幫助下住在瞭德累斯頓附近的一個小鎮上。1944 年末回到萊比錫，由於萊比錫正在遭受空襲，所以他們又在奧地利的鄉下生活瞭一段時間。1945 年由於受不瞭連續的轟炸，就去瞭格拉茨附近的鄉下，有相當長一段時間做不成研究工作，生活異常困苦。
1945 年 7 月，美國人說“人人都要回到他們原來的國傢去”，這樣范德瓦爾登回到瞭自己的祖國。沒有錢，沒有工作，生活很艱難。所幸的是能夠住在父親留下的房子裡。當時找工作的難度令人無法想象。范德瓦爾登如果在納粹時期回到荷蘭，就會得到納粹公共教育部長的頭銜。事情是這樣的，納粹時期烏德勒支大學寫信邀請他去，但是他回信說“現在不行，但戰後我會去的”。范德瓦爾登就是這樣一個有民族氣節的人。
戰爭結束後，好友們力薦范德瓦爾登，文件遞到瞭大臣那兒，但女王不肯簽署，原因是整個納粹時期他都在德國。後來弗瑞丹叟（Freudenthal）幫助他在殼牌石油公司工作，研究優化問題。他的妻子鼓勵他說：“別人可以拿走我們的任何東西，但拿不走智慧”。
范德瓦爾登在這裡待瞭大約有一年時間。1948 年他去美國霍普金斯大學訪問。之後他還是願意去阿姆斯特丹。它是一個大學城，另外女王也幹涉不到。在范德庫普特（van der Corput）的幫助下回到阿姆斯特丹大學任數學教授。居住瞭大約兩年時間，接到蘇黎世大學的邀請。
范德瓦爾登 1951 - 1972 年任瑞士蘇黎世大學教授。這中間他接到過慕尼黑的邀請，但考慮到孩子們這些年生活在動蕩不安當中，就回絕瞭。他對蘇黎世大學產生瞭重要影響。不隻是因為他的研究興趣之廣令人無法想象，而且他在蘇黎世大學培養瞭 40 多名博士生，並且把他的餘生都奉獻給瞭蘇黎世大學，進而推動瞭蘇黎世大學的研究工作。他這裡的學生幾乎都是研究二次型。學生的論文都由范德瓦爾登發表，並與他的工作合起來取名《二次型理論研究》。范德瓦爾登還曾任該校數學研究所科學史室主任。另外在他 70 歲生日時，蘇黎世州的教育秘書為他創建瞭一所帶圖書館的數學史研究所，他把自己所有的那部分圖書都捐給瞭研究所。不幸的是，他的繼任者及其他人對研究所漠不關心，撤消瞭這個研究所。他一生獲得過多種榮譽，還是阿姆斯特丹科學院、美國阿森斯科學院、德國哥廷根科學院和慕尼黑科學院院士。范德瓦爾登最終於 1996 年 1 月 12 日告別瞭他所熱愛的傢人以及數學和科學事業，享年 93 歲。[2]
02 貢獻卓越，發人深省
從上面我們可以看到范德瓦爾登曾遭遇難關，但是憑借他的聰慧做出瞭常人難以企及的貢獻。范德瓦爾登涉獵的領域極為廣泛。除瞭研究數論、代數、代數幾何和群論之外，他還對數理統計、優化問題、組合論、分析、概率論、拓撲學、物理學以及古埃及、古巴比倫和古希臘的數學、數學史、科學史以及印度天文學史有很深的造詣。著有《科學的覺醒》（1950 年，原文為荷蘭文 Ontwakende wetenschap，英譯本 Science awakening，1954）、《生氣勃勃的科學》（1959）、《數理統計學》（德文 Mathematische Statistik）、《量子力學中的群論方法》（1932 年，原文為德文，英譯本 Group Theory and Quantum Mechanics，1974）和《代數學史》（英文 A History of Algebra，1985）等，均頗有影響。下面我們分幾個方面重點闡述他的成就。
（一）代數學
范德瓦爾登的代數學工作對後世影響最為深遠。他在哥廷根遊學期間，諾特對他的代數學思想有著關鍵性的影響。
哥廷根大學是於十八世紀三十年代建立的一所歷史悠久的學校，“教學自由和科研自由”是建校之初就定下的辦校方針。大學一開始就有神、法、醫、哲四個學院，這樣神學院第一次喪失瞭到那時為止它通常享有的優先權，因而哥廷根大學可以看作是第一所具有廣泛科研自由和教學自由的、啟蒙主義的現代大學。
高斯（C.F. Gauss）所領導的天文臺成為大學的第一個自然科學研究機構，他在數學神殿贏得的聲譽為哥廷根留下瞭偉大的科學傳統。1855 年高斯去世，狄利克雷（P.G.L. Dirichlet）接替他出任哥廷根大學數學教授，他和黎曼（G.F.B·Riemann）一起奏響瞭哥廷根數學研究的新樂章。其繼任者克萊因（F. Klein）對哥廷根大學的數學教育體制進行大刀闊斧的改革、招攬人才。特別是希爾伯特到達哥廷根之後，全力以赴地幫助克萊因實現打造世界一流數學中心的目標，以克萊因 - 希爾伯特為首的哥廷根學派正式形成，培養瞭一大批享譽世界的數學傢，使哥廷根成為十九世紀末二十世紀初世界數學的中心。然而 1933 年法西斯政權建立之後，使這個數學與科學王國毀於一旦。哥廷根數學學派的光環一去不復返，德國的數學從此一蹶不振。
1903 至 1904 年冬，諾特到達哥廷根大學聽瞭閔可夫斯基、克萊因、希爾伯特等人的課程。之後返回埃爾朗根大學，在不變量之父果爾丹（P. Gordan）的指導下學習。1915 年應希爾伯特的邀請到哥廷根講代數不變量，目的是解決希爾伯特和克萊因正在思考的用數學整理相對論的問題，進行瞭成功的合作。那個時期整個代數學的任務是將整個龐大的古典代數學陣營建立在一個明瞭清晰的基礎之上，作出更深層次的概括。從埃爾朗根學到的算術化、形式化功底結合哥廷根學派的公理化能力，使 E·諾特駕馭瞭這一偉大事業。她用自己獨創的思想、概念、公理來思考同構、同態、模、剩餘類、理想等問題。她關於抽象代數的文章是從理想理論開始的，她的經典論文《環中的理想論》（1921）標志著代數現代化的開端。當時哥廷根是抽象代數的中心，吸引瞭世界各地的學者。E·諾特周圍匯聚瞭大批學生，這其中有佈饒爾（R.D. Brauer,1901 - 1977）、哈塞（H. Hasse，1898-1979），來自美國的麥克萊恩（S. Maclane，1909-），還有中國學者曾炯之（1898 - 1940）和日本學者正田建次郎等，形成瞭哥廷根抽象代數學派。她的思想也正是靠這些年輕人發展和傳播，其中范德瓦爾登是最突出的。范德瓦爾登 1924 年來到哥廷根大學，成瞭 E·諾特的學生。他很快掌握瞭諾特的思想，並加以精辟透徹的揭示，在哥廷根出色地講授瞭一般理想論的課程。E·諾特關於理想的講座非常新穎，但是她在表述自己思想方面並不擅長。這樣她的思想與方法後來主要由范德瓦爾登概括與總結寫成專著。
范德瓦爾登離開哥廷根之後訪問瞭漢堡大學。當時阿廷正好在漢堡大學舉辦近世代數講座，講座精彩而且洞察力強。不久阿廷和范德瓦爾登二人擬就瞭一個計劃，打算合編一本代數教科書。由於阿廷沒有按計劃行事，所以范德瓦爾登獨自撰寫瞭兩卷本《近世代數學》，並分別於 1930 年和 1931 年出版。他註明利用瞭 E·諾特和阿廷的講稿。
范德瓦爾登的《近世代數學》一書的主要目的和內容是：定義各種代數數域並闡述其結構。他用兩種方式定義代數數域：（1）通過在非空集合上添加一兩種抽象運算（如群、環、超復數系統等）；（2）取定現有的一種代數數域，通過具體步驟（整數環的商域、給定環的多項式環、域的擴張等等）構造一種新域。《近世代數學》確定瞭代數結構化思想，是代數結構化思想鞏固的標志。代數思想的發展經歷瞭由戴德金到希爾伯特再到 E·諾特最後到范德瓦爾登這樣一個過程。[3]
這部書綜合瞭當時近世代數學的各方面工作，優美而流暢，不僅改變瞭德國的研究生教學，在歐洲其他地方和美國也是如此。他把 E·諾特的概念化和結構化的見解表達得非常簡潔，同時也融入瞭阿廷講演中的優雅和解釋。這部書概念層次清晰，結構化思想明確，風格簡單而嚴謹，為其他數學分支的課本如巴拿赫空間、拓撲群論樹立瞭典范。[1]
這部書自出版後在當時眾多的代數學書籍中脫穎而出，對於近世代數學的傳播和發展起瞭巨大的推動作用。到 1959 - 1960 年，第一、二冊已分別出到第五版和第四版。我們知道近世代數學是不斷向前發展的。二十世紀三十年代，當時所謂近世代數學的一些基本內容已經逐漸成為每個近代數學工作者必備的理論知識，所以這部書由五十年代第四版起就去掉“近世”兩字而改名為《代數學》，同時做瞭較大的增補和改寫，但仍保持著原來的基本內容和風格，成為代數學的正統。范德瓦爾登本人曾在第四版的前言中這樣講到：最近完全出乎意料去世的代數學傢與數論專傢佈然特（Brandt）在德國數學會的協會年報 55 卷中對本書第三版寫瞭如下的評論：“關於書名，如果在第四版能夠改為更簡單的但是更確切的書名‘代數學’’，我將感到很高興。像這樣一部過去、現在和將來都是最好的數學書，書名不應該引起人們如此的疑惑，似乎它是追隨一種時髦的式樣，它在昨天還不被人們知道，可是明天可能將被忘掉。”根據這個意思，我把書名改成瞭“代數學”。[7]
現在這部書已被公認為現代抽象代數的一個裡程碑，是現代結構代數的經典著作。它最初以德文形式出版，歷經幾版並被譯成多種語言，得到全世界許多大學的廣泛使用。在此影響之下成長起一大批優秀的數學傢和數學傢集體。我們將在第三部分對范德瓦爾登及其《近世代數學》的影響做一詳細介紹。
（二）代數幾何
代數幾何是范德瓦爾登早年最感興趣的一個領域。他在荷蘭阿姆斯特丹大學上學期間就研究過代數幾何。當時韋瑞斯饒有興趣地講授數的幾何（即舒伯特(H.C.H. Schubert, 1848-1911)的計數幾何）課，范德瓦爾登在學習過程中發現這門幾何學的基礎理論很糟。例如數的守恒原理說幾何問題當相關參數變化時，解的個數不變。實際上假設一個從一般到特殊的情況，其中的參數必然發生變化。一般情況下可能有多個解，特殊情況下隻有一個解（解的個數須按其重數計算）。這是舒伯特的計數幾何中缺少的內容。舒伯特沒有給出重數的定義、求法，而且當時在代數幾何方面取得很大成就的意大利幾何學傢們也忽略瞭其理論基礎。范德瓦爾登開始考慮這種基礎。
後來他聽到哥廷根大學的 E·諾特利用理想給出瞭重數準確定義的消息後，便去哥廷根聽 E·諾特關於理想的講座。這些講座啟發性強，但是 E·諾特不善表達，令常人難以理解，不過范德瓦爾登很快就完全領會瞭。這對於他的一生有關鍵性的作用。在哥廷根他證明瞭數的守恒原理，給出瞭重數的一種定義和一種計算方法。在服兵役期間寫出瞭博士論文。他在論文引言中寫道：“代數幾何的這一逐漸被稱為計數幾何的分支此前一直建立在一個不太穩固的基礎之上。舒伯特的數的守恒原理作為計數幾何的大部分基礎，既沒有嚴謹地出現在舒伯特的體系中，也沒有嚴謹地出現在後來的定義中。它們或者是有缺陷，或者是不充分。”然後給出瞭計數幾何的一個精確的基礎。范德瓦爾登本來想把它作為博士論文，但是太長瞭。當時還有一條規定，論文隻能用荷蘭文或拉丁文來寫。他分做幾篇文章在《數學年刊》（Math Annalan）上予以發表。同時把這些文章中的主要結果寫進博士論文，沒有詳盡的證明。他的論文指導老師是韋瑞斯，但是由於其間范德瓦爾登正在服兵役，沒有時間去阿姆斯特丹與人討論，所以實際上論文是他獨立完成的。1926 年 3 月 24 日在阿姆斯特丹大學進行瞭論文答辯。[2]
范德瓦爾登幾乎一生都在思考代數幾何問題。他於20世紀30年代和40年代在數學年刊上發表瞭許多文章，最後一篇是1971年發表的。1939年還出版瞭著作《代數幾何引論》（ Introduction to A lgeberaic Geometry）。在這部著作中他系統地、精確地建立瞭用途很廣的相交重數的概念，這是對代數幾何進行改革的開始，即用抽象理想論奠定瞭代數幾何的新基礎。希爾伯特1900年所提出的23個著名問題中的第15個問題：舒伯特計數演算的嚴格基礎。代數幾何的嚴格基礎已由范德瓦爾登在1938—1940年和韋伊在1950年建立，但舒伯特演算的合理性尚待解決。
1983年,施普林格出版社出版瞭范德瓦爾登的《代數幾何論文選集》，德國數學傢希策佈魯克（Hirzebruch F∙1927—）為選集作瞭序言。通過上面的論述,可以看出范德瓦爾登在代數幾何領域做出瞭突出貢獻。
（三）拓撲學
范德瓦爾登是在阿姆斯特丹大學讀書期間開始接觸拓撲學的。他的一位老師曼那瑞首先把拓撲學引入荷蘭。他是一位共產黨人，也是一位開拓型的數學傢，和范德瓦爾登的父親是好朋友。范德瓦爾登就是從曼那瑞那裡開始學習和研究拓撲學的。而使范德瓦爾登真正學習到拓撲學的人則是哥廷根大學的無薪教師克尼斯爾（Kneser H）。佈勞威爾曾經給克尼斯爾寫過一封推薦信，推薦范德瓦爾登到哥廷根求學。這樣范德瓦爾登到哥廷根後一直與克尼斯爾保持來往。他們常在一起吃午飯，有時飯後還要一起在哥廷根的樹林裡散步。范德瓦爾登學到不少拓撲學知識。克尼斯爾常作些讀後評論，而范德瓦爾登未能完全理解。散步之後他就去哥廷根圖書館查閱相關內容。第二天再去問克尼斯爾他的解釋對不對。這樣他真正學習到瞭拓撲學，也作瞭一些研究工作。[2]
（四）物理學、群論、數論等方面
范德瓦爾登是數學和科學的多面手。他對物理學、群論、數論、優化問題、數理統計等方面都有深入思考，一生中講授過各種各樣的數學課。
范德瓦爾登最初接觸物理學是在大學期間。他對物理學的興趣始於在德國萊比錫期間，當時物理學傢海森堡和珩德一起主持一個討論班，范德瓦爾登也參加瞭，從而學到瞭物理學。在此基礎上他寫瞭一本關於群論和量子力學的書，即《量子力學中的群論方法》。這本書最初於1932年以德文出版，題目是“Die gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik”。主要內容是介紹群論及其表示的基本概念以及在量子力學上的應用。主要是針對熟悉量子力學的物理學傢所寫的，頗受物理學傢們的歡迎，很快銷售一空。與此前外爾 (C.H.H. Weyl,1885—1955) 寫的《群論和量子力學》形成鮮明對比，外爾寫得太難，很少人能夠讀懂，而且對數學的表述也不是很漂亮。另外，實踐證明范德瓦爾登的書對於學習量子力學的數學傢也是有用的。不過范德瓦爾登認為這本書對於數學傢來說物理部分太難，而對於物理學傢來說數學有時又顯得困難瞭。再加上德語對於許多讀者來說也有一定困難。所以為瞭使這本書更具有可讀性、用處更大，范德瓦爾登用英文重寫瞭整本書，有些地方根據數學和物理的發展作瞭相應改動，1974年出版。直到現在還能買到。[14]這就是范德瓦爾登與大多數科學傢的不同，他不但創造新思想，而且竭力地推廣這些新思想、為後人服務的這種態度非常令人欽佩。
范德瓦爾登還對典型群中心問題之一的自同構問題進行研究。他和斯克雷爾（O. Schreier）在1928年解決瞭域K上PSL(2, K)的自同構。另外他在哥廷根求學時，年僅22歲，以幾個星期的奮戰就得到瞭“關於算術級數的范德瓦爾登定理”──這個絕妙的結果後來被蘇聯數學傢辛欽譽為數論三顆明珠之一。以范德瓦爾登命名的專業術語很多，比如上面的范德瓦爾登定理，還有范德瓦爾登猜想、范德瓦爾登檢驗法和周 - 范德瓦爾登形式等等。
（五）科技史
范德瓦爾登不僅在純數學和科學領域有超人的智慧，而且還是一位出色的科技史傢，尤其是在數學史和天文學史方面。[12]
范德瓦爾登晚年時談到自己一直是一個歷史癖，而且晚年他最感興趣的領域就是科技史。大學期間他聽過韋瑞斯的數學史課。此後讀瞭一些關於歐幾裡得和阿基米德的東西，所以他對數學史的興趣開始得很早。在哥廷根遊學期間還聽瞭諾依格包爾（O.Neugebauer, 1899—）的關於希臘數學的課。當時諾依格包爾主要研究埃及數學並開設瞭相應課程，他的論文非常鼓舞人。後來在哥本哈根范德瓦爾登走訪瞭他。諾依格包爾又談起瞭巴比倫天文學，使范德瓦爾登很感興趣。在萊比錫的時候，有一位哲學傢伽達瑪（Gadamer）在柏拉圖哲學上作瞭很多工作，范德瓦爾登聽瞭他的一些課，一定程度上引起瞭他對希臘數學的興趣。
范德瓦爾登第一本數學史著作是《科學的覺醒》，1950年以荷蘭文出版。之後這本書的幾位很好的評審人建議將它譯成德文。這樣范德瓦爾登的大女兒忠實於原著、流暢地翻譯成瞭德文，1954年出版，擴充後的第二版1966年出版。這本書非常暢銷而且常被人引用。已被譯成日語、英語和俄語等多種語言。[2]
1985年范德瓦爾登又用英文出版瞭數學史專著《代數學史》，主要闡述從花拉子米（Al—Khowarizmi, 約780 - 850）到E·諾特這一段歷史。主要包括三部分內容：代數方程論、群論和代數學。這本書影響也很大。[6]
范德瓦爾登還寫過一些關於天文學史的論文。他與一些數學史傢和天文學史傢關系也非常好。
03 影響深遠，享譽世界
上面我們對范德瓦爾登的生平和主要成就進行瞭介紹。從中可以看到他如何步入數學和科學的神聖殿堂。當然他的成功離不開他的天分，離不開他的傢庭。但我們認為更離不開的則是他向大師們虛心的學習，尤其是得到瞭哥廷根學派女數學傢E·諾特的真傳，使他在抽象代數學和代數幾何學等領域綻放異彩。歷史就是這樣，總是前赴後繼，代代相傳。在范德瓦爾登的潛移默化的影響和直接的教導之下，同樣湧現出瞭一批傑出的數學傢。他的《近世代數學》也引領瞭很多國傢的代數事業。下面我們給出幾個典型事例。
（一）中國
在我國代數學傢曾炯之是E·諾特的學生，受到E·諾特深刻的影響，回國後進行瞭代數學方面的一些工作。遺憾的是去世較早。這樣我國代數工作者主要是通過學習范德瓦爾登的《近世代數學》開始研究工作的。
《近世代數學》的第二版曾經由武漢大學的蕭君絳教授翻譯出版，但流傳不廣，文字也比較艱澀。華羅庚於1938 - 1939年在昆明西南聯合大學講授近世代數課程時曾經以這部書的上冊為參考編寫講義，進行瞭比較大的變動。1961年9月我們國內代數工作者在北京頤和園舉行座談會時都認為有必要迅速出版這部書的全新譯本。因為這部書是在整理E·諾特和阿廷的講稿的基礎上寫成的，它的出版標志著抽象代數學的建立，對提高數學傢的學識修養有很大意義，而且在某種程度上確定瞭後來代數研究的特點和方向。1955年這部書重版時改名為《代數學》，范德瓦爾登又作瞭修改和補充，更加能夠反映代數學的現狀。書中運用現代代數結構嚴格論證瞭代數幾何的基本概念，至今仍不失為一部優秀的教科書。這樣經過一年的時間，由曹錫華、萬哲先、丁石孫、曾肯成、郝炳新等集體合作譯出第一、二卷。專傢們認為這部書今後應該能對代數學的教學及科學研究起較大的推動作用，更希望國內代數學工作者在教學和科學研究中有自己撰寫的書籍出版。這樣這部書最終在1963年7月出版瞭第一冊中譯本，11月出版瞭第二冊的中譯本，均由科學出版社出版。此後我國更多的代數研究者通過此書學習和研究代數學，後來的很多代數教材以它為參考進行編寫。這部書即使在今天作為抽象代數的導言課絲毫也不過時[7]，促進瞭我國代數學的發展，在我國代數學史上有濃濃的一筆。
美籍華人數學傢周煒良 (Wei—Liang Chow, 1911—1995) 為清末民初數學傢周達之子，傢庭富有，年少時通過自學獲取各方面知識。後來他於1929年輾轉到瞭芝加哥大學主修經濟學。1932年受別人的指點去哥廷根研究數學，但是半年後哥廷根衰落。周煒良在芝加哥時曾讀過范德瓦爾登的《近世代數學》，十分欣賞，於是轉到德國萊比錫大學，當時范德瓦爾登剛開始寫名為“代數幾何”的系列論文，結果周煒良就走上瞭代數幾何的研究當中。范德瓦爾登還建議他讀一些老書。周煒良當時感到范德瓦爾登有一種不同尋常的才能，就是能用相當簡單的語言解釋哪怕是最復雜的數學理論，使他覺得隻要願意學習，即使對某些數學學科一無所知也沒有關系，使他一生中第一次認識到選擇數學是正確的。1936年他在范德瓦爾登的指導下獲得博士學位。1937年他的第一篇發表在德國《數學年刊》上的文章便是和范德瓦爾登合作完成的，其中有以二人命名的周 - 范德瓦爾登形式，這也是周煒良最有影響的工作。第二篇是他的博士論文。他是范德瓦爾登的最為出色的學生，有些數學傢首先是通過范德瓦爾登認識周煒良的。范德瓦爾登對他一直很好。1948年范德瓦爾登訪問霍普金斯大學，周煒良聽說後去看他，恰好該校有一個教職的空缺，范德瓦爾登推薦瞭周煒良，此後周煒良一直擔任到1977年退休為止。[5]
（二）日本
以E·諾特、阿廷和范德瓦爾登為代表的德國代數學派對日本代數學派的影響非常重要。日本的正田建次郎、末綱恕一、秋月康夫、中山正、東屋五郎、前野啟三、永田雅宜等一大批有國際聲譽的數學傢都直接繼承瞭E·諾特的傳統，推動瞭抽象代數學的發展，尤其是抽象代數學在日本的發展。正田建次郎在20年代到哥廷根師從E·諾特，他所撰寫的日文《抽象代數學》是繼范德瓦爾登之後第一本抽象代數的書。1954年第三屆菲爾茲獎和1984年沃爾夫獎得主日本數學傢小平邦彥（Kodaira Kunihiko, 1915—1997）在日本第一高等學校讀書期間就熱衷於學習數學和物理。他讀瞭范德瓦爾登的《近世代數學》、正田建次郎的《抽象代數學》、道凌的《代數學》以及范德瓦爾登的《量子力學中的群論方法》、馮·諾依曼的《量子力學的數學基礎》和外爾的《群論和量子力學》等優秀書籍，受到這些新思想的熏陶和啟發，對幾門新興的數學領域和物理領域都打下瞭堅實基礎。[10]可以說諾特的代數學派當然包括它的最優秀的繼承人范德瓦爾登對日本數學的影響勿庸置疑，並將永載史冊。
（三）美國
美國數學傢G·伯克霍夫 (Birkhoff G.,1911—1996) 是美國著名數學傢G·D·伯克霍夫（Birkhoff G∙D∙, 1884—1944）的兒子，生於普林斯頓，1923年畢業於哈佛大學，1926年在英國劍橋大學讀研究生。他以有廣泛的科學興趣而著稱。1932年夏天伯克霍夫在慕尼黑獨自研究群論，他打電話給慕尼黑的數學傢凱若斯德瑞（Caratheodory）並拜訪瞭他。凱若斯德瑞對G·伯克霍夫說：“你如果對群論有興趣，你必須讀斯貝塞（Speiser）的書。你如果想知道更多的代數，讀范德瓦爾登。”這樣他聽從瞭凱若斯德瑞的忠告，開始研讀范德瓦爾登的《近世代數學》。他認為范德瓦爾登的書使近世代數看來像一個剛開辟的正在開花的園地，支配瞭他其後七、八年的工作，尤其是格論的研究，使得他在1938年正式創立瞭格論。[9]經過許多數學傢的努力，格論現已形成數學的一個重要分支，它的概念和思想方法已滲透於數學的其他領域，如代數拓撲學和不分明拓撲學等等。
（四）法國佈爾巴基學派
我們都知道法國的佈爾巴基學派曾一度風靡數學界，而我們卻很少知道佈爾巴基學派的結構主義思想主要是在《近世代數學》的影響之下形成的。同時《近世代數學》也促使佈爾巴基學派拋開法國數學傳統而去借鑒德國方法。
佈爾巴基對《近世代數學》有這樣一段評價：“范德瓦爾登的書於1930年出版，第一次全面闡述瞭E·諾特、阿廷等人的工作，因此為抽象代數學的發展開拓瞭一條嶄新的道路，並對後來此領域的研究工作具有指導意義。”3]
我們認為佈爾巴基學派的工作相當於范德瓦爾登的代數結構觀念在整個數學上的推廣。佈爾巴基學派正是受抽象代數思想的啟示，提出瞭一般的數學結構觀點，《近世代數學》是他們工作的第一個范本。除瞭代數結構，佈爾巴基還明確瞭另外兩類結構：拓撲結構和序結構，並將它們與代數結構合稱為母結構。以這三類結構為基礎，通過它們的交叉、結合而產生出各種層次的結構。他們認為數學就是數學結構的倉庫。佈爾巴基學派的經典著作《數學原本》代數部分中的關於後來線性代數發展的描述受范德瓦爾登的《近世代數學》的影響最深。
佈爾巴基學派的第一批成員之一的狄奧多涅 (J. Dieudonne, 1906—199) 在他的文章“佈爾巴基的事業”中有這樣一段話：“的確，當時已經有許多卓越的論著，而且實際上佈爾巴基學派的著作在一開始以范德瓦爾登的代數學著作為典范。我無意貶低他的優點，但是如你們所知，他自己在序言中說這本書實際上有許多作者，其中包括E·諾特和阿廷，因此他多少有點早期佈爾巴基的味道。這部著作影響很大。我記得它，我當時正在寫我的博士論文，那時是1930年，我正在柏林。我還記得范德瓦爾登這本書剛出版發賣的那天。那時我對代數無知到那種程度，以至於要是現在我就進不瞭大學。我急忙跑向這些書，看到這個在我面前打開的新世界，我簡直驚呆瞭。當時我的代數知識不超過預科數學、行列式以及一點方程的可解性和單行曲線。我那時已經從高等師范學校畢業，卻不知道什麼是理想，而且才剛剛知道什麼是群！這就會使你對一個年輕的法國數學傢在1930年知道些什麼有一點概念。因此我們試圖仿照范德瓦爾登，但事實上他隻討論代數，而且即使在當時也隻是代數中的一部分。（從那時起代數學已經取得相當大的發展，這一部分要歸因於范德瓦爾登的這部書，它現在仍然是一本極好的導論。不少人征求我的意見問如何開始研究代數，我對其中大多數人講：盡管從那時起已經有瞭許多新發展，還是要先讀范德瓦爾登的書。因此我們企圖幹些類似的事。范德瓦爾登用的是非常精確的語言，對於思想的發展有著極為緊湊的組織，並且把這部書的不同部分組織成為一個整體。對於我們來說這似乎是寫書的最好方法，因而我們必須對於許多以前從來沒有仔細討論過的材料加以討論……）”[8]
關於從范德瓦爾登的代數結構思想到佈爾巴基學派的數學結構思想的發展過程值得我們今後進一步研究。
參考文獻
[1]Saunders Maclane,Van der Waerden的近世代數,數學譯林[J].1999.2.174-175.(原題:Van der Waerden's Modern Algebra,譯自:Notices of the American Mathematical Society,Vol.44,No.3(1997),pp.321-322.)
[2] Yvonne Dold-Samplonius, Bartel Leendert Van der Waerden訪問記,數學譯林[J].1998.2.137-148.(原題:Interview with Bartel Leendert Van der Waerden，譯自:Notices of the American Mathematical Society,No.3(1997)，pp313-320.)
[3] Leo Corry,Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures(M).Birkhauser Verlag,1996.
[4] S.S.Chern,Shreeram S.Abhyankar,Serge Lang,Jun-ichilgusa ，WeiLiang Chow[J].Notices of the American Mathematical Society ,Vol.43，No.10(1996)，pp.1117-1124.
[5] Wei-Liang Chow，Shiing-Shern as Friend and Mathematician[J]. Chern-A Geeat Geometer of the Twentieth Century ,Press,(1992),pp.83-91.
[6] B.L.Van der Waerden,A history of algebra[M).Berlin Heidelberg New York Tokyo ,Springer-Verlag,1985.
[7]B·L·范德瓦爾登著,丁石孫等譯,代數學[M]·科學出版社,1963.7.
[8] [法]佈爾巴基等著,胡作玄等編譯,數學的建築(M)·江蘇教育出版社,1999.3.
[9] G.L.AlexandersonCarroll Wilde，Garret Birkhoff,數學譯林[J].1986.9.238-248.譯自:《Mathematical People,Profiles and Interviews》，BirkhÃuser Boston,Inc.Cambridge, Mass-achussetts,1985,1-15.
[10] 飯高茂,數學究竟是什麼?一一采訪小平邦彥教授·數學譯林[J].1986.3.60-73.譯自:《科學》,51(1981),551-561。
[11] Yvonne Dold-Samplonius, In Memoriam :Bartel Leendert van der Waerden(1903-1996)[J]Historia Mathematica 24(1997),125-130.
[12] Jaap Top and Lynne Walling,editors,Bibliography of B.L.van der Waerden[J]. Nieuw Archief voor Wiskunde, 4'" series12(1994),179-193.
[13] James W.Brewer and Martha K.Smith,editors,Emmy Noether:A Tribute to Her Life and Work[J)· Marcel Dekker,New York,1981.
[14]B·L·Van der Waerden,Group Theory and Quantum Mechanics(M]. Berlin HeidelbergNewYork,Springer-Verlag,1974.
本文經授權轉載自微信公眾號“和樂數學”，轉自《自然辯證法通訊》2005年第4期。
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